Problemas y ejercicios de áreas y perímetros en el circulo.

Peritmetro de la circunferencia

Ejercicios Calcula el perímetro (P) y el área (A) de las siguientes circunferencias considerando. a) Una circunferencia de radio 15 cm.

b) Una circunferencia de radio 3,5 cm.

TEOREMAS DE MEDIAS PROPORCIONALES

TEOREMAS DE MEDIAS PROPORCIONALES Teorema de Euclides referido a un cateto “En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.” Demostración:

x Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha): donde DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa) AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa) c = p + q Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes) x Luego;

Que es lo mismo que: Euclides_teoremas_002 x x De forma análoga se tiene que ΔACB ~ ΔADC (a la derecha) , entonces Euclides_teoremas_003 Que es lo mismo que:

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma: “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”. Por lo tanto, Euclides_teoremas_009 Ejemplos: x 1) En la figura a la derecha, determinar a, si c = 7 y q = 4 Euclides_teoremas_010 x 2) En la figura a la izquierda, determinar b si c = 4 y p = 1 Euclides_teoremas_011 Teorema de Euclides relativo a la altura “En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.” x Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales. Sea hc (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c) Entonces: Euclides_teoremas_005 Reemplazando: Euclides_teoremas_006 Llegamos a: Euclides_teormeas_007 A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera: “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”. Por lo tanto, si h2 = p • q entonces Euclides_teoremas_012 Ejemplos: x 1) En la figura a la derecha, determinar h, si p = 2 y q = 8 Euclides_Teoremas_013 x 2) En la figura a la izquierda, determinar h, si p = 3 y q = 12 Euclides_teoremas_014 La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo: Euclides_Teoremas_015

Teoremas de angulos dentro y fuera de la circunferencia.

Circunferencias 5.1 Ángulos en las circunferencias .- Dados dos puntos A y B n una circunferencia, el ángulo central Ð AOB es el que tiene su vértice en el centro O de la circunferencia y sus lados son los segmentos OA y OB. El arco correspondiente es el que se encuentra entre los lados del ángulo central : el ángulo AB es igual al ángulo AOB.

Por definición todo ángulo central mide lo mismo que el arco que abraza, sobrentendiendo por supuesto, que nos referimos a la medida angular del arco, más no a su longitud. Es decir, el ángulo central es la medida en grados del arco que abrazan los radios que lo conforman. Definición 5.1.2 Dados tres puntos A, B y P en una circunferencia, el ángulo inscrito ÐAPB es el ángulo que tiene su vértice en P en la circunferencia y sus lados PA y PB son secantes. Teorema 5.1.1 Todo ángulo inscrito mide la mitad del arco que abraza. Demostración. Tenemos que demostrar que

Procederemos por casos.Caso 1 El centro de la circunferencia está en un uno de los lados del ángulo.

Seaα = ÐAPB, tracemos el radio OA. Así el triángulo ΔAOP es isósceles. Por tanto ÐOAP = α. Y como β(el ángulo central ÐAOB) es exterior del triángulo ΔAOP y no adyacente a α y ÐOAP, entonces β= α+ ÐAOP = 2α. Por lo tanto Caso 2. El centro de la circunferencia está entre los lados del ángulo inscrito.

Sea α = APB. Tracemos EL diámetro que tiene como uno de sus extremos a P y llamémosle C al otro extremo. Sean α 1 = Ð APC y α 2 = Ð CPB. Tenemos que α = α 1 + α 2 . Y por el caso 1 ,α1 es igual a un medio del arco AC y α2 es igual a un medio del arco CB. Por lo tanto

α= α 1 + α 2 = ½ de la suma de los arcos AC Y CB = ½ del arco AB. Caso 3. El centro de la circunferencia queda fuera del área que comprende el ángulo inscrito.

Sean α = Ð APB. Tracemos el diámetro que tiene como uno de sus extremos a P y llamémosle C al otro extremo. Sean α1 = Ð APC y α2 = Ð = BPC. Y por el caso 1 se sigue que α = α1 - α2 = ½ (arco AC- arco BC)= ½ arco AB. Otra manera de presentar el teorema fundamental de los ángulos inscritos es : todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del ángulo central correspondiente. Como consecuencias inmediatas tenemos los siguientes resultados. Corolario 5.1.2 Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia, subtendida por el diámetro , es recto. Corolario 5.1.3 Dos ángulos inscritos en una misma circunferencia y que abracen una misma cuerda, son iguales si sus vértices están del mismo lado de la cuerda; y son suplementarios si sus vértices están en lados opuestos respecto de la cuerda. Demostración. Sean A, B ,P ,P´ y Q como en la figura, es decir P y P´ están del mismo lado de la cuerda AB y los puntos P y Q están en lados distintos. Por el teorema (5.1.1) sabemos que ÐAPB = ½ del arco AQB = Ð AP´B, así vemos que si los vértices del ángulo están del mismo lado de la cuerda, ellos son iguales. Por otro lado tenemos que ÐAQB = ½ del arco APB, luego ÐAPB + ÐAQB = ½ del arco + ½ del arco AQB APB = ½ 360°= 180°. Concluimos que si los vértices están en lados opuestos respecto de la cuerda, entonces los ángulos son suplementarios. Hay que notar que este corolario lo podemos escribir de la siguiente manera: si A, B, P y Q son puntos de una circunferencia, entonces 1. Q ∈ arco APB ⇒Ð APB = ÐAQB 2. Q ∉ arco APB⇒ ÐAPB + ÐAQB = 180° Esto nos da una idea más clara del recíproco de tal corolario, también llamado condición suficiente de conciclicidad de cuatro puntos. Corolario 5.1.4 Sean A, B, P, Q cuatro puntos en el plano, cada tres de ellos no colineales. Si los puntos P y Q están en el mismo semiplano que determina la recta AB y desde ella se ve el segmento AB bajo ángulos iguales. O bien, si los puntos P y Q están en distintos semiplanos que determina la recta AB y desde ellos se ve el segmento AB bajo ángulos suplementarios. Entonces los puntos A,B, P y Q son concíclicos Demostración. Caso 1. Sean A, B, P y Q puntos en el plano. Supongamos que P y Q están del mismo lado con la recta que pasa por A y B. Tracemos la circunferencia C que pasa por los puntos A, B y . Supongamos que Q no está sobre la misma circunferencia C. Llamémosle l a la recta que pasa por los puntos A y Q. Sea Q´ el punto de intersección de la recta l con la circunferencia C, que no es A. Sean l1 y l2 las rectas que pasan por Q´ y B y por Q y B, respectivamente. Tales rectas l1 y l2 son distintas puesto que Q no está en C y por lo tanto Q y Q´ son distintos. Sean α= Ð APB, β= ÐAQB y γ = ÐAQ´B. Por hipótesis, y por el corolario (5.1.3).α= γ.Se sigue que α=β=γ De esta forma tenemos un sistema de dos rectas l1 y l2 cortadas por la secante l con un par de ángulos correspondientes γ y β iguales. Así l1 y l2 son paralelas. Lo cual es una contradicción pues l1 y l2 son distintas y se cortan en el punto B. Por lo tanto Q está en C. Caso 2. Sean A, B, P y Q cuatro puntos en el plano. Supongamos que P y Q están en lados opuestos con respecto de la recta que pasa por A y B. Sea C la circunferencia determinada por los puntos A, B y P. Supongamos que Q no está en C. Sea l la recta que pasa por los puntos A y Q, y llamémosle Q´ al punto de intersección de l con C que no sea A. Sean l 1 y 2l las rectas que pasan por B y Q´ respectivamente, y por B y Q respectivamente. Como Q no está en C tenemos que l1 y l2 son distintas. Sean α= ÐAPB , β= ÐAQB, γ= Ð AQ´B. Por hipótesis sabemos que β = 180°- α . Y como A, B, P y Q´ están en distintos lados de la cuerda AB, entonces por el corolario (5.1.3) α + γ = 180°Por lo tanto γ = 180°- α . Se sigue que γ= β. Así tenemos el sistema de rectas l 1 y l 2 cortadas por la secante l, con par de ángulos correspondientes γ y β iguales. Por lo tanto l 1 y l 2 son paralelas, lo cual es una contradicción, pues l 1 y l 2 son distintas y se cortan en el punto B. Podemos concluir que Q∈ C. En el capitulo anterior vimos que dados tres puntos no colineales, existe una única circunferencia que pasa por ellos. Pero en el caso de tener cuatro puntos no colineales no ocurre lo mimo, pues por ellos pasará una única circunferencia o ninguna. Definición 5.1.3 Se dice que un polígono es inscriptible, si es cíclico, es decir, que todos sus vértices son concíclicos. Para el caso de cuadriláteros convexos tenemos propiedades que los relacionan con las circunferencias. Podríamos preguntarnos, por ejemplo, ¿cúando los vértices de un cuadrilátero pertenecen a una misma circunferencia ?, o en otras palabras ¿cuándo un cuadrilátero es cíclico? El siguiente corolario responde esta pregunta para el caso de aquellos que son convexos. Corolario 5.1.5 Un cuadrilátero convexo es inscriptible si y sólo si sus ángulos opuestos son suplementarios. Demostración. Bastará verificar la proposición para una sola de las parejas de ángulos, en vista de que la suma de los cuatro ángulos es constante igual a 360°. Supongamos primero que ABCD es un cuadrilátero convexo inscriptible en donde α= ÐBAC y β = ÐBDC. Como A, B, C y D son concíclicos y A y D están en lados opuestos de la cuerda CB, por el corolario (5.1.3) ÐBAD + ÐDCB = 180°. Supongamos ahora que ABCD es un cuadrilátero convexo con ángulos opuestos suplementarios. Sean α= BAC y = αBDC. Así ÐABC + ÐADC = 180°. Usando la condición suficiente de conciclicidad de cuatro puntos, enunciada en el corolario (5.1.4), A,B,C y D están sobre una misma circunferencia. Se sigue que el cuadrilátero ABCD es inscriptible. Ejercicio 5.1.1 Sean A, B, C Y D cuatro puntos concíclicos y P el punto de intersección de las rectas AB y CD , demostrar que PA × PB = PC × PD. Solución. Tenemos dos casos dependiendo del orden en que se encuentren los puntos en la circunferencia. Uno de ellos es cuando el punto P es un punto interior a la circunferencia, el otro caso es cuando es exterior. Consideremos el primer caso, en el que P está dentro de la circunferencia. Como los ángulos ÐCAB y ÐCDB abrazan a la misma cuerda CB ellos son iguales. Además ÐAPC = ÐDPB por ser opuestos por el vértice, así ΔAPC ∼ Δ DPB. Por lo tanto Luego PA×PB = PC×PD Consideremos ahora el caso en que P está fuera de la circunferencia Como los ángulos ÐPAC y ÐPDB son iguales al abrazar el mismo arco BC, entonces ΔAPC ∼ ΔDPB. Por lo tanto Podemos concluir que PB ×PA = PC × PD . Este Ejercicio nos muestra que, dado un punto P cualquiera y una recta que pase por el punto y corte a una circunferencia en los puntos X y Y, la cantidad PX × PY permanece constante, no importando cuales sean los puntos de intersección. A tal cantidad le llamaremos la potencia de un punto P con respecto a la relación dada. Definición 5.1.4 Un ángulo semi-inscrito es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, unos de sus lados es tangente y el otro es secante. Teorema 5.1.6 La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. Demostración. La demostración se hará por casos de manera semejante a como se procedió en el teorema (5.1.1). Caso 1. Supongamos que el centro O de una circunferencia está sobre uno de los lados del ángulo ÐBAC, a saber sobre la secante AC, O ∈ AC (es decir, estando O sobre la línea AC). Entonces AC es el diámetro de la circunferencia y así ÐBAC = 90° = ½ del Arco AC. Caso 2.Supongamos que el centro 0 de una circunferencia está entre los lados del ángulo. Tracemos el diámetro que tiene como un extremo al vértice A del ángulo semi-inscrito Ð BAC. Sea D el otro extremo y sean α= ÐBAC, β= ÐBAD y γ= ÐDAC. Por el caso 1 α , = ½ del arco AD. Y como es un ángulo inscrito que abraza al arco DC, entonces γ = ½ del arco DC. Así. α = β + γ= ½ del arco AD + ½ del arco CD = ½ del arco ADC. Caso 3. Supongamos que el centro O de una circunferencia no está entre los lados del ángulo semi-inscrito Ð BAC. Tracemos el diámetro AD, sean α= ÐBAC, β = ÐBAD y γ= ÐCAD.

Lugares geometricos relacionados con la circunferencia.

LUGARES GEOMETRICOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA. CÓNICAS 1º Introducción Cónicas: Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Las cónicas son: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies.

El griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C) fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo. Arquímides (287-212 A.C.) logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C. Apolonio de Praga (262 - 190 A.C.) representa la culminación de la geometría griega. Fue el primero en demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él. 2º Lugares Geométricos Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente: Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico. Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico. Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones. 2.1. Mediatriz Recta perpendicular al punto medio de un segmento. Mediatrices de un triángulo son las m. de cada uno de sus lados. Las tres m. concurren en un punto llamado circuncentro del triángulo. También se puede definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. 2.2 Bisectriz De un ángulo, es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. También se puede definir la bisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo. 3º Circunferencia Lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante.. La distancia constante que separa cualquier punto de la circunferencia del centro es radio R. Ecuación de la circunferencia: Si C(a,b) es el centro de la circunferencia y P(x,y), un punto cuanquiera de la misma, la definición nos dice: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Esta es la ecuación de la circunferencia, o sea la condicion que deben cumplir las coordenadas (x,y) de cualquier punto que este en la circunferencia de centro (a,b) y radio r. Desarrollando la ecuación anterior podemos escribir de otra manera la ecuación de la circunferencia. x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación reducida, es la que corresponde a una cónica cuyo centro es el origen de coordenadas. En el caso de la circunferencia la ecuación reducida es : x2 + y2 = R2 4º Circunferencia que pasa por 3 puntos Si consideramos dos puntos A y B resulta que hay infinitas circunferencias que pasan por ellos, basta considerar la mediatriz del segmento que los une y observar que las circunferencias con centro en esa mediatriz y que pasen por uno de los puntos también pasarán por el otro. Cuando disponemos de tres puntos P, Q y R que no estén alineados, la mediatriz de PQ y la Mediatriz de QR se cortarán en un punto, ese punto es el centro de la circunferencia que pasa por P, Q y R puesto que los tres equidistan de él. Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo. En el caso de que los tres puntos dados estén alineados el problema carece de solución 5º Posición relativa de una recta y una circunferencia Una recta r: ax + by + c = 0 puede ser secante, tangente o exterior a una circunferencia c: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 según las soluciones del sistema: Lugares geométricos - Si el sistema tiene dos soluciones, la recta será secante y estas soluciones serán los puntos de corte. - Si el sistema tiene una solución, la recta será tangente, siendo la solución el punto de tangencia - Si el sistema no tiene solución, la recta será exterior. 6º Posición relativa de 2 circunferencias Dos circunferencias pueden presentar las siguientes posiciones relativas: -Exteriores: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. -Secantes: si tienen dos puntos en común, siendo la distancia entre sus centros menor que la suma de sus radios.

-Tangentes exteriores: tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. -Tangentes interiores: son circunferencias que tienen un punto en común y la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios. -Interiores: son circunferencias que no tienen puntos comunes y la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios. -Concéntricas: son circunferencias interiores que tienen el mismo centro. 7º Elipse Es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal. La ecuación de un elipse es x2/a2 + y2/b2 = 0 Lugares geométricos Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser : 8º Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Ecuación de la hipérbola : x2 / a2 - y2 / b2 = 1 9º Excentricidad de una cónica La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es e = c/a El valor de la excentricidad determina el tipo de cónica: Si e < 1 es una elipse (circunferencia e = 0). Si e = 1 es una parábola. Si e > 1 es una hipérbola. 10º Posición relativa de 1 recta y 1 cónica Las posiciones relativas entre una recta y una cónica pueden ser las mismas que dadas para una circunferencia. Para saber donde en que sitio nos situamos, resolveremos el sistema formado por la ecuación de la cónica y la ecuación de la recta dadas. Las posiciones relativas posibles de una recta respecto a una cónica son tres: Secantes, tiene dos soluciones. Tangentes, tiene una solución. Exteriores, carece de solución.

Angulos de poligonos, problemas y ejercicios (ejemplos).

“FÓRMULAS SOBRE TEOREMAS DE POLÍGONOS”. ✿ Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono. EJEMPLO: • Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular. Suma de ángulos interiores = 180(n-2) Suma de ángulos interiores = 180(5-2) Suma de ángulos interiores = 180(3) Suma de ángulos interiores = 540°.

✿ Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”. Ángulo interior = 180(n-2) n EJEMPLO: • Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular. Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156° n 15 15 15 ✿ Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°. Ángulo exterior = 360° n EJEMPLO: • Calcular el ángulo exterior de un triángulo. Ángulo exterior = 360° = 360° = 120°

✿ Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2. # de / = n(n-3) EJEMPLO: • Calcular el número de diagonales de un pentágono regular. # de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales.

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ANGULOS DE POLIGONOS. Ángulos interiores de polígonos Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

TRIANGULOS Los angulos interiores de un triangulo suman 180°.

Cuadrilateros CUADRADO: LA SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES MIDEN 360°.

Pentágono Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540° Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

Concepto y Clasificación de polígonos.

Concepto y Clasificaciones de poligonos. ¿Qué es un polígono? Un polígono es una figura geométrica plana limitada al menos por tres segmentos rectos consecutivos no alineados llamados lados. Por ejemplo, un pentágono es un polígono de 5 lados. Se trata de un ejemplo de un polígono de los que llamaremos regulares.

Un polígono se llama regular si todos sus lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos interiores tienen la misma medida. Un polígono es irregular si incumple alguna de las dos condiciones del apartado anterior. Estos son los elementos de un polígono: Lado: uno de los segmentos antes nombrados que delimita la superficie del polígono. Vértice: punto donde se unen dos segmentos de los que conforman el polígono. Diagonal: segmento que une dos vértices no adyacentes. Ángulo: apertura de los dos segmentos adyacentes que concurren en un vértice. Para poder identificar fácilmente los elementos de un polígono existe una notación muy sencilla que nos facilita saber de que elemento estamos hablando en cada momento. Así podremos diferenciar los lados, vértices o cualquier otro elemento entre si. Veamos un ejemplo y luego explicaremos la notación exacta.

Clasificación Veamos ahora la clasificación de los polígonos regulares según su número de lados: Nombre Número de lados No existe 1 No existe 2 Triángulo 3 Cuadrado 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 Eneágono 9 Decágono 10