TEOREMAS DE MEDIAS PROPORCIONALES

TEOREMAS DE MEDIAS PROPORCIONALES Teorema de Euclides referido a un cateto “En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.” Demostración:

x Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo en C, y se proyectan los catetos sobre la hipotenusa, se tiene la siguiente figura (dercha): donde DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa) AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa) c = p + q Por semejanza (~) de triángulos, el ΔACB ~ ΔCDB (son semejantes) x Luego;

Que es lo mismo que: Euclides_teoremas_002 x x De forma análoga se tiene que ΔACB ~ ΔADC (a la derecha) , entonces Euclides_teoremas_003 Que es lo mismo que:

Vistas las fórmulas a las que arribamos utilizando la media proporcional geométrica, podemos enunciar el primer Teorema de Euclides también de la siguiente forma: “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”. Por lo tanto, Euclides_teoremas_009 Ejemplos: x 1) En la figura a la derecha, determinar a, si c = 7 y q = 4 Euclides_teoremas_010 x 2) En la figura a la izquierda, determinar b si c = 4 y p = 1 Euclides_teoremas_011 Teorema de Euclides relativo a la altura “En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.” x Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes, en la figura a la derecha); por lo tanto, sus lados homólogos (correspondientes) son proporcionales. Sea hc (CD) la altura de la hipotenusa (AB = c) Entonces: Euclides_teoremas_005 Reemplazando: Euclides_teoremas_006 Llegamos a: Euclides_teormeas_007 A partir de esta última fórmula, y tal como en el caso del primer teorema de Euclides, este segundo teorema también se puede expresar de la siguiente manera: “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”. Por lo tanto, si h2 = p • q entonces Euclides_teoremas_012 Ejemplos: x 1) En la figura a la derecha, determinar h, si p = 2 y q = 8 Euclides_Teoremas_013 x 2) En la figura a la izquierda, determinar h, si p = 3 y q = 12 Euclides_teoremas_014 La altura correspondiente a la hipotenusa (hc)de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de los lados del triángulo, haciendo: Euclides_Teoremas_015